劳务公司的责任主要包括以下几个方面：

劳动合同管理

劳务公司负责与劳务派遣人员签订、变更、续订、解除、终止等手续，并处理相关劳动争议。

工资支付与社会保险

劳务公司需按月支付劳务派遣人员的劳动报酬，并确保其社会保险的缴纳及保险待遇的办理。

用工管理

劳务公司全面负责被派遣劳务人员的用工管理，包括劳务纠纷处理、社保办理，并与劳务派遣人员签订劳动合同备案。

档案管理

劳务公司负责劳务派遣人员的档案管理，建立和接转相关档案。

工伤保险责任

劳务公司作为劳动关系的一方，需承担工伤保险责任，若未给劳务人员缴纳工伤保险，相关赔偿由劳务公司负责支付。

法律责任

若劳务公司未与劳务派遣人员签订劳动合同或未按时足额缴纳社会保险费，需承担相应的法律责任，包括支付两倍工资、滞纳金及罚款等。

劳动就业服务

劳务公司还承担全国范围内的劳动就业服务，包括待业人员管理、就业指导、职业介绍、就业培训等。

组织管理

劳务公司负责组织和管理工作，包括劳务人员的岗前教育和工作任务安排、组织管理社会机动劳动力、组织经济事业等。

禁止再派遣与收费

劳务公司不得将被派遣劳动者再派遣到其他用人单位，也不得向被派遣劳动者收取费用。

连带责任

若用工单位给被派遣劳动者造成损害，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。

综上所述，劳务公司在劳务派遣过程中承担多方面的责任，涉及劳动合同管理、工资支付、社会保险、用工管理、档案管理、工伤保险、法律责任、劳动就业服务、组织管理等多个方面，确保劳务派遣人员的合法权益得到保障。