公寓楼40年后的处理方式主要依据《中华人民共和国民法典》第三百五十九条的规定，即住宅建设用地使用权期限届满的，自动续期。续期费用的缴纳或者减免，依照法律、行政法规的规定办理。以下是具体的处理步骤和可能的选择：
自动续期
公寓的国有土地使用权到期后，原则上是自动续期，不需要房屋业主办理任何手续。
续期费用的具体缴纳方式和金额，需要依照法律、行政法规的规定办理。
补缴土地出让金
业主可以选择向房屋所在地的土管部门提出续期申请，一旦申请通过，需要按规定缴纳土地出让金以重新获得土地使用权。
续期费用通常低于同类土地出让金的价格，具体数额受当地政府政策制约。
国家回收土地
如果国家根据规划需要收回土地和地上建筑物，业主将获得相应的经济补偿。补偿方式可能包括一笔补偿金或安排分配新安置房。
补偿金额通常依据房屋的市场价格及当时政策规定确定，一般按照1:3的比例参考。
变更土地使用权
业主还有权利申请将土地使用权变更为长久性，但这需要全体住户联名提交相关申请，并支付必要的土地购置费用。
建议
提前规划：提前了解并关注土地使用权到期时间，以便有足够的时间进行续期准备。
咨询专业：在续期过程中，建议咨询专业的法律顾问或土地管理部门，确保按照法律规定和当地政策办理。
保留证据：妥善保存所有与公寓购买、续期相关的文件，以备不时之需。
通过以上步骤和策略，可以确保公寓楼40年后的土地使用权顺利续期，保障业主的合法权益。