看守所的归属问题，根据不同的情境和法律规定，有不同的处理方式：

公安机关侦查阶段

看守所一般用于关押在侦查阶段被拘留的犯罪嫌疑人，时间通常在两个月左右，最长可达半年。当公安机关认为需要逮捕犯罪嫌疑人时，会在拘留后的3日以内提请人民检察院审查逮捕。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长1日至4日。逮捕后，犯罪嫌疑人的侦查羁押期限为两个月，期满后应移送检察院。

法院判决后

判决生效后，看守所会根据人民法院的执行通知书和判决书，立即办出所手续，将罪犯移送至监狱。但需要注意的是，被判处有期徒刑一年以下的罪犯，也可以不移送监狱，而继续在看守所监管。

司法体制改革提议

在深化司法体制改革中，有司法界人士提出将看守所回归司法行政部门管理，但目前这一提议尚未成为现实，看守所仍然由公安机关管理。

综上所述，看守所的归属问题涉及不同阶段和法律规定，具体情况如下：

在公安机关侦查阶段，看守所由公安机关管理。

判决生效后，看守所会根据法院的判决将罪犯移送至监狱，或被继续在看守所监管。

目前，看守所仍由公安机关管理，但未来可能会回归司法行政部门管理。